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Los teoremas de Gödel

Kurt Gödel nació en 1906, en el entonces Imperio Austro-húngaro, hoy Brno, República Checa. Destacado en Matemática, estudió en la Universidad de Viena, en el ámbito de científicos cercanos al positivismo lógico. En su tesis doctoral de 1929 presentó el hoy conocido como Teorema de Completitud de Gödel. “Este teorema se refiere a la lógica de predicados, es decir, a las afirmaciones, válidas en todo contexto, que sustentan el razonamiento matemático. Por ejemplo, la ley de tercero excluido. “O bien vale una afirmación, o bien vale su negación’”, cuentan Guillermo Martínez y Gustavo Piñeiro en “Gödel (para todos)”.

“En su teorema Gödel probó que es posible dar axiomas que permiten demostrar todas las afirmaciones de esta clase. Hacia 1930 casi todos los matemáticos estaban convencidos de que en todas las teorías sería posible encontrar teoremas de completitud similares: elegidos adecuadamente los axiomas, toda afirmación verdadera en teoría sería deducible”.

Pero Gödel mismo viene a patear el tablero con su Primer Teorema de Incompletitud, en el que “probó que la aritmética elemental es esencialmente incompleta: no es posible dar axiomas que permitan demostrar todas las verdades de la teoría. De manera que Gödel probó un Teorema de Completitud (para la lógica de predicados) y uno de Incompletitud (para la aritmética)”.

Su Teorema de Incompletitud para la aritmética se dio a conocer en 1931. En 1940, después de amenazas y atentados nazis, se exilió en los Estados Unidos.

El escritor Guillermo Martínez (que en su ficción ya había aludido al Teorema de Incompletitud de Gödel) y el matemático Gustavo Piñeiro buscan hacer accesible la complejidad de ese teorema que fue a menudo tomado en causa para demostrar la supuesta derrota de la razón y de las certidumbres en el campo mismo de las ciencias exactas. Introducen a un panorama general de la cuestión, proponen ejemplos y ejercicios, deteniéndose sobre el lenguaje para la aritmética y la definición de verdad y sobre el teorema de Gödel fuera de la matemática (así, Gödel y su presencia en Julia Kristeva y la semiótica; en Paul Virilio y las nuevas tecnologías; en Régis Debray, en Michel Serres y la política; en Deleuze y Guattari y la filosofía; en Jacques Lacan y el psicoanálisis; en Jean-François Lyotard y la condición posmoderna). En una segunda parte se ocupan de la demostración de los teoremas y una tercera a la incompletitud en un contexto general y abstracto. Dos apéndices completan el volumen publicado por Seix Barral: uno presenta ejemplos de teorías completas e incompletas, y el segundo, histórico, presenta hitos en la historia del Teorema de Incompletitud.