Un problema matemático de un millón de dólares
En esta época en el que el acceso a las divisas internacionales se ha vuelto complicado, una buena forma de hacerse de dólares es intentar resolver uno de los problemas del Instituto Clay de Matemáticas. Los premios no son nada despreciables: un millón de dólares por cada problema... Aunque yo intentaría resolver uno de esos solamente por la gloria (si, claro).
TEXTOS. RUBÉN DAVID MONJE.
Se cree que los matemáticos trabajan sobre problemas abstractos, de escasa o nula aplicación práctica. Que son personas que se la pasan garabateando incoherencias en una hoja, aislados de todo contacto con la humanidad. La realidad marca que muchos de ellos están actualmente abocados a resolver problemas que tienen un correlato directo con la realidad que nos toca vivir. Intentaré en estas líneas describir la superficie de uno de estos problemas aún sin solución: de qué se trata, dónde lo podemos encontrar todos los días y qué aplicaciones tiene potencialmente su resolución. Si eso no alcanza para interesarlos, entonces sepan que hay un premio de un palo verde en el medio. Si, si, así como lo están leyendo. Resolver este problema que veremos a continuación les puede ayudar a pagarse un generoso asado.
Les pido si, que sean mis cómplices a lo largo de la lectura porque van a tener que poner a trabajar sus neuronas. Así que por favor, asegúrense de haber tomado abundante café y de que sus hijos están todos con vida, vigilados y entretenidos antes de seguir leyendo.
Las ecuaciones de Navier-Stokes, de las que hablaremos hoy, son herramientas matemáticas que se utilizan para modelar el comportamiento de los fluidos cuando se mueven. Prestan una ayuda invaluable al momento de simular la realidad con computadoras. Las aplicaciones de estas ecuaciones van desde la industria aeroespacial, aviación, estudios para la mejora de las formas aerodinámicas de autos, predicción de vientos, simulación de válvulas para el corazón. En fin, cualquier cosa que involucre cierto tipo de fluidos en movimiento. Así de útiles como son resulta desafiante el hecho de que aún no se haya demostrado la existencia de soluciones. No se preocupe, iremos de a poco. Veremos qué significa encontrar una solución, miraremos a las ecuaciones a la cara y enunciaremos el misterio que encierran. No conformes con ello y para poder entenderlo mejor, haremos un símil mecánico de él para finalizar con algo más sobre las aplicaciones de esta herramienta. En ese orden.
El problema de las ecuaciones de Navier-Stokes es un misterio que permanece aún irresoluto y es un ejemplo muy interesante de “ecuación que nos rodea en la vida real”. Y nos rodea más de lo que podría uno suponer... de hecho nos rodea ahora mismo: a usted mientras lee esto y respira, y a mí mientras voy tipeando. Comencemos con un pequeñísimo repaso y vayamos entrando en tema. ¡Que lo disfruten!
RECORDANDO LO QUE ERA DESPEJAR “X”
Resolver una ecuación significa encontrar/calcular el o los valores de las incógnitas que satisfacen una determinada igualdad. Por ejemplo: 3x-4=1. Si tuviésemos esta ecuación y alguien nos pidiera resolverla pasamos algunos términos y concluimos que x=5/3 es un valor que resuelve el problema. La verificación es sencilla por cuanto reemplazando x por el valor que resolvimos hace que los dos lados de la igualdad tomen efectivamente el mismo valor (1 en ambos lados del signo igual).
Si tuviésemos esta otra ecuación: x2-3x+2=0 no sería tan fácil pasar términos pero por suerte la resolvente para ecuaciones de segundo grado nos permite identificar que x=1 y x=2 son valores que resuelven el problema. De nuevo la verificación consiste en reemplazar x por alguno de los valores y constatar que el resultado de las operaciones da cero.
Agreguemos además, para ser más rigurosos, que determinar la inexistencia de valores que satisfagan una igualdad es también encontrar una solución. O sea que si a su maestra le decían “este problema no tiene solución” existía la posibilidad de que tuviesen razón, aunque lo más probable hubiese sido que le estaban mintiendo.
Hasta aquí no hemos agregado nada nuevo, sólo hemos repasado lo que significaba resolver una ecuación. Es algo importante que hay que tener presente para poder comenzar a entender la naturaleza del problema de Navier-Stokes. Porque si simplemente les digo “le dan un palo verde al que resuelva estas ecuaciones” y no les explico lo que es resolver una ecuación no estaría haciendo muy bien mi aporte a la divulgación de la ciencia. ¿No les parece?
LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES
Por el amor de Dios, ¿qué es esto? No vamos a explicar el significado de cada uno de los términos, no es la idea volverles expertos en la mecánica del continuo. Este juego de ecuaciones, aunque no les diga nada, se utiliza para calcular cómo se mueve un fluido, que puede ser agua o aire.
La resolución de esta estructura permite conocer en cada instante de tiempo para dónde se está moviendo un fluido y qué tan rápido lo hace en cualquier punto del espacio. Aquí aclaremos que por “solución” se busca calcular valores de velocidades y presiones del fluido en movimiento tales que verifiquen lo que sea que dicen esas ecuaciones con triangulitos y todo. En los ejemplos anteriores la incógnita era x mientras que acá los valores a calcular son v y p, y tienen que hacer que los dos lados de las dos igualdades sean realmente iguales.
Es importante saber para dónde se mueve un fluido y con qué rapidez lo hace para calcular los esfuerzos a los que se somete un cuerpo sumergido. Calcular la fuerza de fricción que ejerce el aire sobre distintos medios de transporte es una aplicación. ¿Alguna vez vieron esas gráficas 3D de autos o aviones con líneas que los recorren alrededor? (ver gráfico).
Bueno, eso que estaban viendo era justamente una solución aproximada de estas ecuaciones de Navier-Stokes aplicada al aire moviéndose alrededor de un determinado modelo de auto. Es importante destacar eso: se trata de una solución aproximada obtenida con computadoras. Es que las ecuaciones son tan difíciles de resolver que es más rápido utilizar métodos de aproximación y potentes ordenadores para tener una idea de como luce el flujo alrededor del auto (ver ilustración).
Y aquí es donde empieza a aparecer el problema del millón de dólares, porque no solo resulta que Navier-Stokes es difícil de resolver y se tiene que pedir auxilio a la informática. A ciencia cierta nadie sabe si en realidad la solución “exacta” (que debe ser terriblemente complicada) existe. Es decir, se está calculando una solución aproximada de algo que todavía no sabemos si matemáticamente existe. En lenguaje coloquial: se podría estar batiendo mucha fruta.
Piensen en las ecuaciones de Navier-Stokes como si se tratase de una máquina y que para hacerla funcionar bien necesitamos una pieza de una determinada forma. Esta pieza es tan difícil de conseguir que nadie la ha visto nunca. Se sabe sí que al final hará funcionar la máquina. ¿Se entiende mejor con el símil mecánico? ¿Verdad que si? En esta analogía la solución aproximada vendría a ser un componente de reemplazo atado con alambre que consigamos. Hará funcionar la máquina bastante bien pero no de forma ideal.
¿Entonces por qué se hace eso? ¿Por qué en el amor de todo lo que es bueno y legal se sigue procediendo de esta forma tan vikinga y espartana? ¿Por qué seguimos atando la solución de la ecuación con alambres? Porque funciona. Funciona muy bien, de hecho, y usar estos resultados simulados por aproximación le permite a la industria automotriz y aeroespacial ahorrarse mucho dinero en la construcción de prototipos malos y en sus ensayos en los túneles de viento. Pero el punto más importante a la hora de creer o reventar es que las predicciones hechas con soluciones aproximadas concuerdan con lo que ocurre en la realidad y es por eso que se confía tanto en esta forma de proceder: aproximadas y todo, estas soluciones predicen muy bien el comportamiento de la realidad.
Así que al final no hay tanto oscurantismo bárbaro a la hora de creer, sino que hay mucha evidencia experimental.
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Después de tantas vueltas estamos en condiciones de formular cuál es el problema a resolver y así nos podremos sentir un poco más matemáticos al final del día. ¡Vamos los pibes! El problema del millón de dólares (uno de ellos) dice así:
Demostrar que existen soluciones a la ecuación de Navier-Stokes y que estas soluciones no tengan la tendencia de tomar valores infinitos... Porque también tienen mal comportamiento estas porquerías. Suele pasar mientras se resuelve computacionalmente que a partir de cierto momento en el problema alguna velocidad toma un valor infinito y la solución no se puede seguir.
Claro que se retiene toda la información hasta el momento en que el problema literalmente explota, se puede calcular el movimiento del fluido hasta cierto instante, pero una vez que una variable se va al infinito es inútil seguir intentando obtener más información... sencillamente porque ya no se puede.
Y COMO SI ESTO FUERA POCO...
Ante tanto misterio en este problema, el Instituto Clay de Matemáticas otorga un premio de un millón de dólares a quién consiga resolverlo. También hay premios iguales para otros problemas que seguramente visitaremos en el futuro. Los problemas son tan famosos y difíciles que mundialmente se los conoce como “los problemas del milenio”.
El premio se nos hace suculento por dos causas:
1) Somos avaros.
2) Es realmente mucho dinero.
Pero el verdadero premio, lo que realmente desvela a una tropa de matemáticos alrededor del mundo es el deseo de poder estamparle a los otros en la cara un espectacular “yo lo pude resolver y ustedes no... coman tierra”. Es que quien consiga la solución al problema puede, además de ganarse el premio, inventar una técnica muy buena para no tener que andar aproximando o para aproximar con mayor grado de detalle el movimiento de los fluidos. Tener mejores soluciones y conocer más sobre su comportamiento tiene aplicaciones en la industria aeroespacial y automotriz como vimos antes. Esa es la parte humanamente altruista, la pata belicosa del asunto que también debemos mencionar son los jugosos contratos que le significaría al ganador el poder ubicar sus desarrollos en manos de Boeing, Lockheed Martin y demás fabricantes de aviones de combate y armas.
También se podrían hacer mejores modelos para simular tornados y predecir mejor su ocurrencia así como el camino que vayan a recorrer cuando toquen tierra: claramente que una demostración así se podrá aplicar en la mejora de los modelos climatológicos para simulación. (Ver ilustración)
Las aplicaciones de este problema son muchas, incontables. Lo que ocurre es que generalmente en la vida cotidiana no tenemos acceso a los métodos de resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes y por eso el problema nos puede parecer lejano. Nada más equivocado porque estas ecuaciones gobiernan el movimiento del aire adentro de sus pulmones, la sangre que corre por sus venas, el clima, las corrientes marinas, y el comportamiento del agua de la laguna Setúbal. Tenerlo presente será una forma de rendir un merecido homenaje a los que se devanan los sesos atacando los problemas del milenio sin más armas que un lápiz y una hoja de papel.
¿Y usted pensaba que en matemática ya estaba todo dicho? ¿Que no quedaban misterios por resolver? Bienvenido al mundo de los que saben que todavía hay mucha tela para cortar.
