La cuadratura del círculo

Claudio H. Sánchez (*)

Tres problemas de matemática:

1. Dibujar un cuadrado que tenga solamente tres lados.

2. Encontrar dos números impares cuya suma sea igual a otro número impar.

3. Dado un círculo, dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie, usando solamente una regla y un compás.

Estos tres problemas tienen algo en común: no tienen solución. No es que sean muy difíciles o que los matemáticos aún no hayan encontrado la forma de resolverlos. No tienen solución porque sus enunciados se contradicen a sí mismos. Estos problemas son necesariamente imposibles de resolver.

La contradicción es evidente en el primer problema. Un cuadrado, por definición, es una figura que tiene cuatro lados. Una figura de tres lados nunca podrá ser un cuadrado.

Aunque no es tan evidente, el segundo enunciado también se contradice. De las propiedades de los números surge inmediatamente que la suma de dos números impares siempre será igual a un número par.

Y el tercer enunciado también es contradictorio. Pero eso ya no es para nada evidente. Se trata del famoso problema de la cuadratura del círculo.

El problema de dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie que un círculo dado, usando solamente una regla y un compás, se conoce desde la antigüedad clásica. Ha sido usado como metáfora de una meta utópica, imposible de alcanzar. Lo citan Dante Alighieri en "La divina comedia" y James Joyse en su "Ulises". Y, efectivamente, es imposible de resolver. La clave está en la condición de usar solamente una regla y un compás.

Alrededor del siglo III a.C. el matemático griego Euclides decidió reunir todo el conocimiento matemático, los enunciados, teoremas y sus demostraciones, en una sola disciplina. En algún momento se dio cuenta de que no todas las cosas se podían demostrar. Que había ciertos enunciados que había que aceptarlos así como estaban y usarlos para nuevas demostraciones. Estas verdades evidentes por sí mismas se llaman axiomas. Naturalmente, cuantos menos axiomas se usen y cuanto más evidentes sean, mejor. Euclides se las arregló con diez axiomas: cinco de geometría propiamente dicha y cinco relacionadas con la lógica.

Por otra parte, ciertas demostraciones necesitan que se dibujen algunos esquemas y, para eso, hay que usar instrumentos. De nuevo, cuantos menos instrumentos se usen y cuanto más simples sean, mejor. Los matemáticos decidieron que podían arreglárselas con solamente dos instrumentos: una regla, sin marcas ni graduaciones, y un compás.

Una regla y un compás parecen poca cosa, pero alcanzan para muchas operaciones gráficas. Por ejemplo, en la clase de geometría se enseña cómo dibujar una línea perpendicular que corte a un segmento dado por su punto medio. También se puede dividir un ángulo en dos partes iguales o un triángulo que tenga sus tres lados iguales. Hasta se puede dibujar un segmento cuya longitud sea igual a la raíz cuadrada de otro segmento. Pero, también, hay muchas otras cosas que no se pueden hacer. No se puede dividir un ángulo en tres partes iguales, por ejemplo.

Para resolver la cuadratura del círculo es necesario dibujar un segmento cuya longitud sea igual al número Pi. Un segmento de unos 3,14 cm de largo. Y aquí empiezan los problemas.

En 1882 el matemático alemán Carl von Lindemann demostró que pi es un "número trascendente". Esto significaba, entre muchas otras cosas, que no era posible dibujar un segmento cuya longitud sea igual a Pi usando solamente una regla y un compás. Lo que, a su vez, significaba que el problema de la cuadratura del círculo no tenía solución.

Podríamos pensar que, una vez demostrada esta imposibilidad, los matemáticos dejaron de buscar la solución al problema. Pero no. Todos los años las universidades y academias de matemática de todo el mundo reciben supuestas soluciones al problema de la cuadratura del círculo. Soluciones que rechazan sin revisar porque saben que necesariamente habrá un error en alguna parte y no quieren perder el tiempo buscándolo.

El matemático y divulgador Gustavo Piñeiro compara la cuadratura del círculo con el problema de encontrar una secuencia de movimientos válidos en ajedrez que lleve un alfil de una casilla blanca a una negra. Los alfiles se mueven siempre en diagonal. Si hay un alfil en una casilla negra, los movimientos diagonales necesariamente lo mantendrán sobre casillas de ese color. Si alguien asegurara haber encontrado una secuencia que lleve al alfil de una casilla blanca a una negra no necesitaríamos verla para saber que no es así o que la secuencia viola las reglas del ajedrez. Lo mismo podemos decir de las supuestas soluciones a la cuadratura del círculo. No hace falta revisarlas hasta encontrar un error para saber que el error estará ahí en alguna parte.

El problema de dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie que un círculo dado, usando solamente una regla y un compás, se conoce desde la antigüedad clásica. Ha sido usado como metáfora de una meta utópica, imposible de alcanzar. Lo citan Dante Alighieri en "La divina comedia" y James Joyse en su "Ulises". Y, efectivamente, es imposible de resolver.

Todos los años las universidades y academias de matemática de todo el mundo reciben supuestas soluciones al problema de la cuadratura del círculo. Soluciones que rechazan sin revisar porque saben que necesariamente habrá un error en alguna parte y no quieren perder el tiempo buscándolo.

(*) Docente y divulgador científico.