Monedas, falacias y paradojas

Claudio H. Sánchez (*)

Digamos que usted juega a tirar al aire una moneda. Vamos a suponer que la moneda es honesta: está perfectamente balanceada por lo que en cada tirada la probabilidad de que salga cara es igual a la de que salga ceca. Sin embargo, por esas cosas del azar, luego de diez tiradas sale siete veces cara y tres veces ceca. Hablando en porcentajes, una relación 70-30.

Sabemos que esta relación no puede mantenerse. Si sigue tirando la moneda, y la moneda es honesta, la relación entre caras y cecas debe tender al 50-50. Así lo indica la "ley fuerte de los grandes números" o "de retorno al promedio".

Si en las primeras diez tiradas predominaron las caras y, a largo plazo, la relación debe equilibrarse, parece natural pensar que en las próximas tiradas predominarán las cecas. Esto es lo que predice la llamada "falacia del jugador" y, como su nombre lo indica, es falso: la moneda no tiene forma de recordar los resultados pasados ni, mucho menos, de ajustar su comportamiento en función de ese recuerdo. Si es honesta, en cada tirada la probabilidad de salir cara seguirá siendo igual a la de salir ceca.

La ley fuerte de los grandes números y la falacia del jugador parecen dos formas de decir lo mismo. Sin embargo una cosa es verdadera y la otra, falsa. ¿Dónde falla el razonamiento del jugador que, pretendiendo aplicar lo primero, aplica falazmente lo segundo?

La ley fuerte de los grandes números se refiere a frecuencias relativas: porcentaje de caras y porcentaje de cecas. La falacia del jugador se refiere a frecuencias absolutas: cantidad de caras y cantidad de cecas. Para entender la diferencia supongamos que tiramos la moneda noventa veces más y sale cincuenta veces cara y cuarenta, ceca. Es decir que, contra lo que predice la falacia del jugador, vuelven a predominar las caras. Sin embargo, considerando las cien tiradas, ahora la relación entre caras y cecas es de 57 contra 43, más cercana al 50-50 que predice la ley fuerte de los grandes números.

En otras palabras, la tendencia hacia el 50-50 en términos relativos que predice la ley fuerte de los grandes números no necesariamente implica que se equilibren las cantidades absolutas de caras y cecas, como pretende la falacia del jugador.

(*) Docente y divulgador científico.