El problema de Monty Hall

En la película "21", Kevin Spacey interpreta a un profesor de matemática que recluta a sus alumnos más brillantes para integrar un equipo para jugar blackjack en los casinos de Las Vegas mediante la técnica de conteo de cartas. Se trata de una estrategia que, aplicada sistemáticamente, ofrece probabilidades de ganar superiores a las del puro azar.

Uno de los alumnos despierta el interés del profesor porque resuelve correctamente el llamado "problema de Monty Hall", un acertijo de lógica y matemática que toma su nombre del presentador de televisión Monty Hall, que planteaba este problema a los invitados de su programa "Let´s make a deal" ("Hagamos un trato"), también conocido como "Trato hecho".

En este problema se presentan al participante tres puertas. Detrás de una de ellas hay un premio valioso: un auto. Detrás de las otras dos hay un premio mucho menos valioso: una cabra. El participante elige una de las puertas y se queda con el premio que hay detrás de ella. Si tiene suerte se llevará un auto. Si no, se llevará alguna de las dos cabras.

Supongamos que el participante elige la puerta número tres. Antes de abrirla para ver qué premio le tocó, el presentador -que sabe dónde está el auto- abre una de las puertas no elegidas y muestra una cabra detrás de ella. A continuación le ofrece al participante la opción de cambiar su elección inicial. ¿Debe el participante aceptar la oferta o le conviene mantener su elección inicial?

Quedan dos puertas sin abrir. En una está el auto y en la otra, una cabra. Las probabilidades de contener el auto parecen ser iguales para cada puerta por lo que no habría razón para cambiar. De hecho la mayoría de los participantes del juego opta por mantener su elección inicial, tal vez, por cábala.

Sin embargo, puede demostrarse que las probabilidades están dos contra uno a favor de que el auto esté en la puerta no elegida y, por lo tanto, al participante le conviene cambiar su elección. La mejor forma de convencerse de esto es hacer la lista de todos los casos posibles y comprobar que, en dos de cada tres casos, el auto está en la puerta no elegida.

También podemos imaginar que una persona participa en el juego, noche tras noche, a lo largo de trescientos programas. Por causa del azar, en cien de los juegos elegirá la puerta con el auto, en otros cien elegirá la puerta con la cabra número uno y en los cien restantes, la puerta con la cabra número dos.

Si persiste en su elección inicial, ganará el auto las cien veces que haya elegido la puerta adecuada en su primera opción. Si cambia, lo ganará en los otros doscientos juegos. La idea de que cualquiera de las dos puertas tiene igual probabilidad de tener el auto resulta tan elemental e intuitiva que mucha gente se resiste a aceptar la solución correcta.

La página de discusión de la Wikipedia sobre el problema muestra muchas supuestas refutaciones a la explicación matemática y ofrece explicaciones alternativas, todas incorrectas. En 1990 le plantearon el problema a la periodista norteamericana Marilyn vos Savant, que conducía una columna de consultas en la revista Parade.

Savant respondió correctamente que la decisión más conveniente es cambiar de puerta, lo que produjo una avalancha de cartas que afirmaban que la periodista se equivocaba y que las probabilidades de ganar o perder el auto eran de 50% en todos los casos. Curiosamente, algunos de estos lectores eran matemáticos, egresados de las universidades más prestigiosas de los Estados Unidos.

Estos lectores, que estaban equivocados, decían sorprenderse de la ignorancia matemática del público en general, y de Marilyn vos Savant en particular, y le pedían que, por favor, admitiera su error. La polémica se prolongó durante varios meses en Parade y en revistas especializadas y hasta el propio Monty Hall fue entrevistado al respecto.

Finalmente, como muchos de los que escribían eran maestros de escuela, vos Savant les sugirió que simularan el juego en sus aulas y le escribieran comentándole los resultados. Con el tiempo empezaron a llegar cartas favorables a la explicación de la periodista.

En el año 2000 el problema fue planteado en el diario La Nación, de Buenos Aires, por el especialista en juegos de ingenio Jaime Poniachik. Como en el caso de Parade, la respuesta produjo una polémica entre los lectores. Podemos suponer que la polémica resurgiría si algún diario, revista o programa de televisión decidiera reflotar el problema en estos tiempos. Ahora mismo, quizás.

El autor es docente y divulgador científico.