El método Montecarlo

Poco después de la Segunda Guerra Mundial, los científicos John von Neumann y Stanislaw Ulam trabajaban en el laboratorio de Los Álamos, en investigaciones sobre la bomba atómica. Ambos eran matemáticos y sus investigaciones eran obviamente teóricas: no podían hacer estallar una bomba cada vez que querían comprobar el resultado de sus cálculos.

Pero el análisis teórico tampoco era sencillo porque las reacciones nucleares que determinan el funcionamiento de una bomba atómica dependen de muchos factores, algunos de ellos aleatorios y difíciles de predecir mediante una fórmula matemática.

Entonces, von Neumann y Ulam decidieron simular esos procesos aleatorios con otro dispositivo aleatorio: una ruleta. Bajo ciertas condiciones, la secuencia de números aparecidos en la ruleta podría reproducir el desarrollo del fenómeno que querían estudiar.

Ellos llamaron a esta técnica "Método Montecarlo", en obvia alusión a las ruletas más famosas: las del casino de Montecarlo, Principado de Mónaco, en la Costa Azul.

El método Montecarlo (o "de Montecarlo") se usa para estudiar fenómenos complejos, donde hay muchas variables a tener en cuenta y que no responden a fórmulas matemáticas simples. Un ejemplo típico es la física cuántica, como era el caso de las investigaciones de Ulam y von Neumann.

Pero también se puede usar para estudiar fenómenos sociales, que dependen de decisiones de las personas y que también tienen algún componente aleatorio.

Un buen ejemplo es el llamado "Problema del estacionamiento". Supongamos que un auto necesita cinco metros para estacionar, incluyendo el espacio para maniobrar al entrar o salir. En esas condiciones, ¿cuántos autos pueden estacionar en una calle de cien metros?

En cien metros, a razón de cinco metros por auto, podrían estacionar veinte autos. Pero eso solo sería posible si cada auto estacionara a continuación del anterior, dejando el espacio justo para maniobrar.

En cambio, si cada auto llega y estaciona en cualquier lugar donde encuentre un espacio libre, puede ser que quede una separación de tres metros entre dos autos. Más de lo necesario para maniobrar pero insuficiente para que entre otro auto. Eso representa un espacio desperdiciado que reduce la cantidad de autos que pueden estacionar.

No sabemos qué es lo que lleva a un automovilista a estacionar en un lugar u otro a lo largo de la calle. Seguramente es un conjunto de factores, muchos de ellos aleatorios. Esta es la clase de problemas que podemos resolver con el método Montecarlo.

Lo primero que necesitamos es una forma de generar números al azar. Hay programas y aplicaciones para eso o, como Ulam y von Neumann, podemos usar una ruleta. Nosotros vamos a usar un libro que abriremos en cualquier página dentro de las primeras cien. Supongamos, por ejemplo, que abrimos el libro en la página 27.

Vamos a decir entonces que el primer auto estaciona a veintisiete metros de la esquina. Repetimos el procedimiento y abrimos el libro en la página 15. Eso quiere decir que, en nuestra simulación, el siguiente auto estaciona a quince metros de la esquina.

En el tercer ensayo abrimos el libro en la página 29. Esto representa un auto que pretende estacionar a veintinueve metros de la esquina. Pero ese espacio está parcialmente ocupado por el primer auto. Entonces, simplemente, descartamos ese "auto".

Nótese que todos los números obtenidos son impares, porque estamos considerando las páginas del lado izquierdo del libro. Se puede perfeccionar el proceso para incluir los números pares pero, en este caso, no se alteraría el resultado final del experimento. Seguimos simulando la llegada de autos con el libro y obtenemos los números 5, 39, 37, 93, 91, 21, 41, 9, 5, 73, 61, 81 y 49.

Si descartamos los números que corresponden a posiciones ya ocupadas los números restantes representan diez autos que estacionan. Además, quedan seis espacios intermedios, suficientes para otros tantos autos. Se puede detener la simulación en este punto ya que un auto que llega y encuentra un espacio de cinco a nueve metros libres entre otros dos se estacionará ahí.

En cualquier caso, esta simulación indica que se pueden estacionar dieciséis autos, que coincide razonablemente con el número al que se llegaría tras un análisis estadístico más complejo. ¿Qué otro fenómeno podría analizarse mediante el método Montecarlo y cuál sería su resultado?

El autor es docente y divulgador científico.

Datos biográficos

John von Neumann (1903-1957), registrado al nacer como Neumann János Lajos, fue un eminente matemático y polímata húngaro-estadounidense que realizó contribuciones fundamentales en disciplinas como física cuántica, análisis funcional, teoría de conjuntos, teoría de juegos, ciencias de la computación, economía, análisis numérico, cibernética, hidrodinámica, estadística y muchos otros campos.

No en vano se lo considera uno de los matemáticos más importantes del siglo XX. Stanisław Marcin Ulam (1909-1984), también fue un notable matemático polaco que participó al igual que von Neumann en el Proyecto Manhattan -de producción de armas nucleares- y propuso el diseño Teller-Ulam para el armamento termonuclear.

También propuso la idea de propulsión nuclear de pulso y desarrolló un número de herramientas matemáticas en la teoría de números, teoría de conjuntos, teoría ergódica y topología algebraica. Es el creador, igualmente, de la denominada Espiral de Ulam.